| 【授業研究３】 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 高等学校1年｢個数の処理｣ | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| (1) | 授業の構想 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
 日本の数学教育の実情として，学力調査ではトップクラスであるのに対して，生徒の意識の上では数学を嫌いと感じる生徒の割合が増加している。考えられる原因としては，教師が教え込むような講義形式の授業が多く行われていること，数学が生活の中でどのように役立っているのかをなかなか実感出来ないこと，評価の仕方が主に試験による方法であることなどが挙げられる。その反省として求められたものが，新学習指導要領の改善のねらいでもあり，本研究のテーマでもある｢自ら学び自ら考える力を育成する学習指導」や｢数学的活動の楽しさを味わう学習指導｣であると考えられる。これは,生徒が自分で手を動かしたり実験したりすることや, さらに他の生徒とのコミュニケーションを通して，自らが数学を学習することのよさを理解し，数学的活動の楽しさを味わい，主体的学習へと変化していくことが求められているのだと思われる。 そこで，本研究では生徒が実際に実験でき，かつ生徒にとって身近な題材として「個数の処理｣という単元を取り上げることにした｡具体的には,｢Ａ，Ｂ，Ｃの３つの箱と赤，白，青，黄の玉が３個ずつある。いま，３つの箱に玉を１つずつ入れる。ただし，赤玉は少なくとも１個は入れるものとする。このとき，３つの箱は区別するものとし，同色の玉は区別しないものとすると，何通りの入れ方があるか｡｣という問題である。この問題は何通りもの解き方が出来る問題である。本授業では，教師の側からは問題の意味の確認とその解法の流れの確認をするのみで，後は全面的に生徒の自主的な活動に任せることにした。また，問題を解く上での道具(色鉛筆，おはじき)等を用意し，その使用方法については，生徒たちに好きなように利用させた。さらに，解答の書き方について，こちらから指示することなく自由に記述させた。そして，個々の解法の感想についてもそれぞれの生徒の視点から書かせることにした。つまり，教師のイメージした型に当てはめるのでなく，生徒の個々の数学の能力や活動経験の違いを考えた対応をすることにより，生徒の主体的な数学の学習を導き出し，それにより一人一人の生徒が数学的活動の楽しさを味わい，さらに自ら学び自ら考える学習へと変換する足がかりになるという期待をもって授業の構想を行った。 |
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| (2) | 指導の手だて | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ア | 問題について | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 前時に研究授業時に学習する問題を配り，問題の意 味の確認を行った。また，どのような考え方をすれば 解けるかというアイデアを各自班長に報告しておくよ うに指示しておいた。この段階では，グループ全体で 話合うのではなく，あくまでも個人でアイデアを考え させるものである。問題はカラープリントしたものを 全員に配布し，黒板でも同様のモデルを用意した。 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| イ | 解法の確認とヒントのプリントについて | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
 考えられる解法として，９つ用意しておいた。そのうちの５つ(解法1から5まで)は全部のグループが取り組み，余裕があれば解法６から９にも取り組ませる。具体的には，黒板で全体に説明した後,解法１から５までのヒントの紙(要点をまとめたもの)と解答用紙を配った｡以下に，解法１から９及びヒントとして配布した表を示す。解法１・箱ＡＢＣの順で樹形図を全部(64通り)かいてから赤玉を含むものを見つける。 解法２・赤玉をどれか１つの箱に入れてから考える。 解法３・３つの箱に赤玉を３つ入れる場合，２つ入れる場合，１つ入れる場合に分ける。 解法４・全体から赤玉を１つも入れない場合を引くと赤玉を少なくとも１個入れるという条件になると考えて解く。 解法５・箱ＡＢＣの順に玉を入れると考え，赤玉を最初に入れる箱を指定して考える。 解法６・箱ＡＢＣを４色の色鉛筆で塗り分けて答を求める。 解法７・箱ＡＢＣの順に樹形図を書く。赤玉を含む図のみを書き出す 解法８・３つの箱に入れる玉の種類の数を基準として考える。 解法９・玉を色ごとに数字に置き換え，その積を考える。赤玉を０とした場合，箱ＡＢＣの積は０になる。つまり赤が入っているときは０になる。 |
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| ウ | グループごとの活動の指示及び色鉛筆，おはじきと解答用紙の配布 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| １クラス37人を６人の班５つと，７人の班１つに分け，班長を決めておく。さらに，１つの班を２人ずつ３つのグループに分けた。(７人の班のみ３人のグループが１つ出来る。)その際，時間内で各班が解法１から５に１通り取り組めるように,前から解く者｢解法１２３４５の順で解く｣，後ろから解く者｢解法５４３２１の順で解く｣，真ん中から解く者｢解法３４５１２の順で解く｣というように分けた。そして,時間切れの時には解いた人に説明してもらうようにした。 また，モデルとして箱ＡＢＣの代わりに画用紙を用意し，玉の代わりにおはじきに赤白青黄のシールをはったもの(２セット)と色鉛筆(赤白青黄)を１本ずつ配布した。これらの使用については指示は一切せず生徒達の自由にさせた。さらに，解答用紙は後でグループ内で比較検討しやすいように解法ごとに解答欄を指示した。解答方法についても自由にさせた。 |
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| エ | 答の配布と授業のまとめ(チェックシートとアンケート) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| まず，答(64通りの樹形図とそれらをカラープリントして一覧表にしたもの)を配布した後，チェックシートを配布し，それぞれの解法の感想を書くように指示した。もし，自分が解いていない解法があれば解いた人に説明してもらいその印象をかくように指示した。その後，今回の授業についてのアンケートをとり，班長に班の意見をまとめるように指示した。各班長が意見をまとめ発表し，全体で今回の授業のまとめをする。 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| (3) | 授業の展開 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ア | 単元名 個数の処理 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| イ | 学習計画 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 順列と組合せ(15時間)①順列(7時間)，②組合せ(7時間)，まとめ(1時間)…本時 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ウ | 目標 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 順列･組合せのまとめとして，これまで学習したことをもとに，1つの問題をいろいろな方法で解き，それぞれの解法のよさを考える。また，グループでの作業やディスカッションを通して，数学的活動の楽しさを味わう。 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| エ | 準備 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 教科書，ノート，問題集，プリント，マグネットシート（赤，白，青，黄３個ずつ），色鉛筆，色画用紙３種類(箱ＡＢＣのモデル),おはじき(赤，白，青，黄３個ずつを各班に分ける) | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| オ | 学習指導案 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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| (4) | 授業の考察 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
 まず，問題の意味の確認するため，赤玉が必ず入るという条件をつけない場合の玉の入れ方の総数を答えさせた｡生徒からは３つの答12Ｐ3，12Ｃ3，43がでたが,問題の意味を確認しながら43が答である理由を説明した。次に，班長から解法のアイデアを発表させた。こちらから，用意した９つの解法の内，生徒からあがったアイデアは解法１２３４の４つだった｡(解法としてあがらなかったものについては，こちらから説明した｡)そして，班ごとに解法１から５に取り組むように指示した。各班での活動では，自分で解いてから他の人に説明するもの，おはじき等で実験し解法の意味を確認しながら解くものなどいろいろ見られた。 解法１については色鉛筆を利用して解いているものが多く，全部書き出すよりも答の部分だけ書き出すもの(解法７)が多かった。解法２については表現があいまいなためか放棄してしまったものが多く見られた。この例は生徒にダブルカウントを考えさせる上で重要な解法であったが，取り組んだ生徒が４，５人しかおらず，取り組ませるための誘導方法を工夫すべきだと感じた。解法３については，実験してから計算して求めるものが多かった。解法４については，計算のみで４３－３３として答を出すものが多かった。数学が得意な生徒はすぐに計算で解きはじめたが，苦手な生徒は実験したり，相談してから解いているのが特徴的だった。解法５については，具体的に全部を書き出して解いた者，途中で全部書き出すよりも計算に切りかえた方が速いと判断して計算に切り替えた者，場合わけごとに計算で解いた者，などいろいろに分かれた。約20分間で取り組んだ解法数は平均して３つであり,中でも｢解法３」から解き始めたグループが多くの解法に取り組むことが出来た。これは，解法３と４がセットで取り組めたからであろう。 各解法についての感想の中で，樹形図による解法１については確実な方法ではあるものの時間がかかって大変だと感じている生徒が多かったのが特徴的だった｡ 解法２については,｢表現が抽象的で具体的にどうすればよいか分からず混乱してしまった｡｣という感想が多かった。ここで，方針が立たず時間をロスしてしまった者が多かったことが分かった。解いた生徒が出した答えはこちらの予想通り48通りであったが，ダブルカウントする場合の例まで分かったのは２人(１グループ)だけだった。解法３，４については，解法４が分かれば解法 ３はやる必要がないという意見が多かった。特に,｢解法５から解法１へ」解いていったグループにこの意見が多かった。これは，解法４の方が計算する回数が少ないこと，また式が簡単なことから考えると自然なことだと思われる。解法５は，解いてみたら意外と簡単だったという感想が多くみられた。これは，おはじきで具体的に実験することによって解法の意味に実感を持てたためであろう。 アンケート結果表４をみて分かるように，グループでの話し合いによる授業では，解法の理解や不安解消などができて成功したように思われる。解法を理解している生徒は自分の考えを確認する意味も含め，おはじきを使ったり図をかいたりして，まだ分かっていない生徒に納得いくまで説明していたのが印象的であった。このように自分で問題の意味や解法を納得してから解くという点が講義形式と違った今回の授業のよさであろう。そして，生徒がよいと思う解法として解法１と５が多かったのは，具体性があり，かつ正解を実感をもって出せたことが要因であるように思われる。 |
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表４ アンケートの内容と結果について（調査人数37人）
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| (5) | まとめと今後の課題 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 感想の中に｢こんなに多くの解法があるとは思わなかった｣があった。普段の授業では時間 的制約もあり，別解を示すことくらいで９つ(またはそれ以上)の解法があろうとは思わなかったようだ。今回の授業研究は，正解を出すことよりもいろいろな解法を行うことによって様々な数学的活動の楽しさを実感することにあるので当初の目的は達成されたと思った。また，数学に苦手意識をもっている生徒から「自分にも解ける方法があってよかった」という感想が出された。普段の授業では，教師が期待する解法が中心となるが，本授業では解法のアイデアのヒントを与える以外は生徒の自主性に任せたので，生徒は自分自身のレベルとペースで心理的負担もなく，伸び伸びと取り組めたようだ。そして，自分で正解を出した喜びは，自らの数学的活動を行っていく上で自信とやる気をもたらしたという点で大変意義があった。このように，自分の理解できるレベルから取り組み，友人とのコミュニケーションを通して別の解法や高度な解法に取り組むきっかけとなれば，数学的活動はより一層楽しいものとなり，自ら学び自ら考える学習活動への重要な足がかりになると感じた。 そして，生徒の解答や感想から感じたことは，同じ解法１つをとっても生徒の数学的能力や経験によってさまざまな見方をしており，必ずしも教師の想像するイメージとは一致していないことである。指導方法について，生徒の状況を見ながら，絶えず工夫や改善をしていくことの必要性を改めて感じた。これが今後取り組むべき課題となるように思った。 |
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